Layer B-5 — Placidus ハウスシステムの中間カスプ（H2・H3・H11・H12）完全トレース
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本ビューでは、実装上は関数に吸収される処理も、計算過程の理解と検証のために段階的に表示しています。 これは最適化されたコード表現ではなく、数学的な導出と実装可能な中間ステップを対応させるための表示です。
⚑ このページは占星術の設計上の選択（ハウス分割）を扱います。 前段の trace_angles.html までが天文計算（RAMC・ε・MC・ASC）であり、 「ASC を第1ハウスの起点とする」「空を12分割する」「Placidus 法で分割する」という選択には 天文的な必然性はありません。詳細は trace_angles.html の末尾 を参照。
Placidus 法では、各ハウスカスプを「そのカスプ上の天体が子午線（MC）から ASC まで到達するのに 要する時間弧（Diurnal Semi-Arc）の分数点」として定義する。
$$\text{DSHA}(\theta) = \arccos\!\bigl(-\tan\varphi \cdot \tan\delta(\theta)\bigr)$$ $$\delta(\theta) = \arcsin\!\bigl(\sin\varepsilon \cdot \sin\lambda(\theta)\bigr)$$ $$\lambda(\theta) = \text{atan2}\!\bigl(\sin\theta,\; \cos\theta \cdot \cos\varepsilon\bigr)$$中間カスプの赤経 $\theta$ は以下の方程式を Newton-Raphson 法で解いて求める：
$$H_{11}:\; f(\theta) = \text{RAMC} + \tfrac{1}{3}\,\text{DSHA}(\theta) - \theta = 0$$ $$H_{12}:\; f(\theta) = \text{RAMC} + \tfrac{2}{3}\,\text{DSHA}(\theta) - \theta = 0$$ $$H_{9}:\;\; f(\theta) = \text{RAMC} - \tfrac{1}{3}\,\text{DSHA}(\theta) - \theta = 0$$ $$H_{8}:\;\; f(\theta) = \text{RAMC} - \tfrac{2}{3}\,\text{DSHA}(\theta) - \theta = 0$$収束後の赤経 $\theta$ を黄経 $\lambda$ に変換してカスプ値とする：
$$\lambda_{\text{cusp}} = \text{atan2}(\sin\theta,\; \cos\theta \cdot \cos\varepsilon) \bmod 360°$$下半球カスプは上半球から派生する：
$$H_2 = H_8 + 180°,\quad H_3 = H_9 + 180°,\quad H_5 = H_{11} + 180°,\quad H_6 = H_{12} + 180°$$$f(\theta) = 0$ を解くため、初期値 $\theta_0 = \text{RAMC}$ から以下を繰り返す：
$$\theta_{n+1} = \theta_n - \frac{f(\theta_n)}{f'(\theta_n)},\qquad f'(\theta_n) \approx \frac{f(\theta_n + h) - f(\theta_n - h)}{2h}$$$|\theta_{n+1} - \theta_n| < 10^{-9}$（度）で収束と判定する。